Механика инерцоида
     Главная | Влияние трения на движение инерцоида | Мой профиль | Выход Вы вошли как Гость | Группа " Гости" | RSS
Механика инерцоида

На этой странице будет производиться анализ статьи «Влияние трения на движение инерцоида» из межвузовского сборника научных трудов за 1996 г.
Автор научной статьи – Тарунин Евгений Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор Пермского государственного университета.

Статья цитируется с моими комментариями. Комментарии печатаются на зелёном фоне. В цитаты вошёл только материал, имеющий информационное значение или связан с анализом. Некоторые обозначения и стиль текста изменены для удобства ввода. Введены дополнения для более полного понимания математических выкладок. Цель анализа – показать, что использованные в работе числовые параметры, для программного моделирования виброхода, только доказывают, что реальное движение инерцоида не соответствует классической механике. Анализ будет состоять из двух частей. В первой части комментарии сопровождают текст статьи. Её задача выделить противоречия, интересные и проблемные места, определится с параметрами, которые надо использовать в модели, соответствующей опыту. Во второй части мы проведём программный анализ модели Евгения Леонидовича в более широком виде, при обоснованных экспериментом параметрах и без оптимизации Автора.

Михаил Ost
г. Пермь

Часть 1

Редакция от 21.08.2011 г.

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные динамические системы
Межвузовский сборник научных трудов. 1996

УДК 531.314.2+519.62

Е. Л. Тарунин
г. Пермь
Влияние трения на движение инерцоида

...
Инерцоид представляет для механики яркий пример механизма, который чутко реагирует на зависимость трения от скорости. В работе исследовано движение инерцоидов как механизмов, которое полностью подчинено законам классической механики. ...

Цель данной статьи — показать ещё раз (как это было сделано в [9] ), что движение инерцоида правильно описывается законами классической механики. ...

     1. Сведения об инерцоидах [3]. Опишем кратко основные характеристики инерцоидов и укажем параметры, которые могут быть использованы при расчётах. Инерцоид обычно располагался на тележке, опирающейся на 4 колесика. На тележке располагался и электродвигатель (в первых конструкциях пружинный механизм). Электродвигатель вращает вертикальный вал, на котором синхронно, но в различных направлениях вращаются в горизонтальных плоскостях два рычага с грузиками на концах (один рычаг вращается по часовой стрелке, а другой — против). Двигатель включался периодически кратковременно для разгона грузиков в основном в поперечном направлении по отношению к оси инерцоида (рис.1).

     Плоскости вращении грузиков были немного разнесены по высоте. Радиусы грузиков могут быть различными (по фото однотактного инерцоида с электроприводом различие в радиусах составляет около 20%). В математической модели отражены только две основные части инерцоида — корпус тележки и два рычага, расположенные симметрично относительно оси движения и оси инерцоида. В [3] отмечено, что "особое внимание необходимо уделять тормозному механизму, именно он регулирует верный режим работы инерцоида". Безусловно, это так (у Толчина В.Н. тонкое чутье механика-изобретателя), но, к сожалению, описание тормозного механизма [3] сводится лишь к формальной стороне (размеры, материал, способ крепления) без указания функциональных параметров. Сектора ускорения и замедления (торможения) грузиков были таковы:

 

φ1 = 160° ≤ φ < φ2 = 180° – сектор торможения,

 

φ3 = 330° ≤ φ < φ4 = 360° – сектор ускорения.

(1.1)

     Эти сектора указаны в предположении, что угол φ (см. рис. 1,б) отсчитывается от оси x и значение φ = 0 соответствует нахождению грузиков впереди корпуса. Отметим, что указанное значение сектора торможения Δφ2 = 20° находится в противоречии с углом тормозного кулачка (рис. 26 [3]), равным 35°.
     Из математической модели будет видно, что важной характеристикой устройства является безразмерная величина, равная отношению массы грузиков к полной массе

 

γ = 2m/M0.

По данным табл. 1 эта величина изменялась от 0.274 до 0.46.

 

Таблица 1

Параметры N устройства и его название
1 2 3 4
Однотактный с пружинным заводом Со вёздочкой С электроприводом Мощный
Масса инерцоида M0, г 950 900 2600 5600
Масса грузика m, г 130 150 600 1000
Радиус грузиков, см 6 15 20 30
Ход вперёд S+, см 9 - 18 45
Ход назад S-, см 3 - 2 2
Путь за такт
S = S+ - S-, см
6 16 16 43(65)
Трение покоя Fтп, г 25 5 22 29
Трение качения Fтк, г <6 - <6 10
Сила в импульсе, г 80 450 2300 15000
 

     Другой важной характеристикой устройства является масштаб длины

 

S0 = 2γR.

(1.3)

Эта величина определяет амплитуду колебаний механического вибратора при отсутствии трения. По данным [3], эта величина меньше хода вперёд S+ в 2–2.7 раза.
     Период обращения грузиков изменялся в довольно широких пределах – 0.2 ÷ 0.3 до 1–2 с (табличные данные по каждому типу устройства отсутствуют). ...

При изменении настройки "пружинного" инерцоида с 1.0 до 0.3 сек, уровень центростремительных сил увеличивается в 11.11 раза, а средние силы сухого трения уменьшаются, так как, по мнению некоторых оппонентов инерцоид работает на спаде характеристики трения в зависимости от скорости. Однако факт, что это не приводит к существенным изменениям в параметрах движения, 90/30. Поэтому сторонники В. Н. Толчина задают вполне справедливый вопрос, а причём тогда здесь трение? Чувствительность параметров инерцоида к отношению (трение)/(центростремительная сила) весьма незначительна в заметном дипазоне частот, по факту реального опыта, при условии минимизации трения элементарно доступными способами, т. е. использования качественного колеса с большим отношением его диаметра к диаметру оси, в условиях смазки. Всякие разговоры о большом и нелинейном трении, двигающим инерцоиды, не имеет под собой никакой практической основы. Они является просто теоретическими вымыслами, которые стимулируются отсутствием других вариантов классического объяснения причин движения инерцоидов.

     3. Вывод уравнений Лагранжа и решение уравнений механического вибратора. Осуществим вывод уравнений, определяющих движение системы двух тел – корпуса тележки и вращающихся грузиков. Система координат изображена на рис. 1,б. Полная кинетическая энергия системы (лагранжиан) равна

 

L = M·v2/2 + 2m·(v2xm + v2ym)/2;

(3.1)

здесь M – масса тележки, 2m – масса вращающихся грузиков. Между координатами оси тележки x и координатами грузиков xm и ym имеется жесткая кинематическая связь.

 

xm = x + Rcos(φ),       ym = ±Rsin(φ).

(3.2)

Дифференцирование уравнения (3.2) по времени и подстановка в (3.1) даёт для кинетической энергии выражение

 

L = M0·v2/2 + m·(ω2·R2 - 2R·v·ω·sin(φ)).

(3.3)

vxm = v - ω·Rsin(φ),     vym = ±ω·Rcos(φ).

L = M·v2/2 + 2m·((v - ω·Rsin(φ))2 + (ω·Rcos(φ))2)/2 =

= M·v2/2 + m·((v2 + ω2·R2sin(φ)2 - 2v·ω·R·sin(φ) + ω2·R2cos(φ)2) =   

= M·v2/2 + m·((v2 + ω2·R2 - 2v·ω·R·sin(φ)).

L = M0·v2/2 + m·(ω2·R2 - 2R·v·ω·sin(φ)).

Здесь M0 = M + 2m – полная масса инерцоида, v = dx/dt – скорость тележки, ω = /dt – угловая скорость рычагов радиуса R.
     Уравнение Лагранжа, определяющие динамику системы, имеют вид [16]

 

d/dt(L/q'i) - L/qi = Ψi

(3.4)

в котором qi – обобщённые координаты, а Ψi – обобщённые силы. В нашем случае для двух обобщённых координат (i = 1,2)

 

q1 = x,    q2 = φ

(3.5)

уравнения Лагранжа (3.4) приобретают вид

 

dv/dt = γR(cos(φ)·(/dt)2 + sin(φ/dt) + Ψx/M0

(3.6)

L = M0·v2/2 + m·ω2·R2 - 2m·R·v·ω·sin(φ);

L/v = M0·v - 2m·R·ω·sin(φ);

d/dt(L/v) = M0·dv/dt - 2m·R·/dt·sin(φ) - 2m·R·ω2·cos(φ);

L/x = 0;

d/dt(L/v) - L/x = M0·dv/dt - 2m·R·/dt·sin(φ) - 2m·R·ω2·cos(φ) = Ψx;

M0·dv/dt  = 2m·R·ω2·cos(φ) + 2m·R·/dt·sin(φ) + Ψx;

dv/dt  = γ·R·ω2·cos(φ) + γ·R·/dt·sin(φ) + Ψx/M0;

dv/dt  = γ·R·(ω2·cos(φ) + /dt·sin(φ)) + Ψx/M0.

 

/dt = sin(φ)·(dv/dt)/R + Ψφ/I.

(3.7)

L = M0·v2/2 + m·ω2·R2 - 2m·R·v·ω·sin(φ);

L/ω = 2m·ω·R2 - 2m·R·v·sin(φ);

L/φ = -2m·v·ω·R·cos(φ);

d/dt(L/ω) = 2m·/dt·R2 - 2m·R·dv/dt·sin(φ) - 2m·R·v·ω·cos(φ);

d/dt(L/ω) - L/φ = 2m·/dt·R2 - 2m·R·dv/dt·sin(φ) = Ψφ;

/dt - dv/dt·sin(φ)/R = Ψφ/I;

/dt = dv/dt·sin(φ)/R + Ψφ/I.

Здесь Ψx(v) – сила сопротивления движению корпуса тележки (внешняя сила), Ψφ – момент сил, вращающий грузики, γ = 2m/M0,     I = 2mR2 – момент инерции грузиков.
    Из формулы для координат центра масс xc (2.3) и связей (2.2) вытекают соотношения:

 

vc = v - γ·R·sin(φω,

dvc/dt = dv/dt - γ·R·(cos(φω2 + sin(φ/dt).

(3.8)

Отсюда и (3.6) следует, что при отсутствии внешней силы (Ψx = 0) ускорение центра масс тождественно равно нулю, или, что то же, – скорость движения центра масс dxc/dt = const. ...

     4. Решение уравнений Лагранжа.
     Для удобства реализации пошагового интегрирования системы (3.6)–(3.7) с помощью замены
ω =/dt был осуществлён переход от производных по времени к производным по углу:

 

dv/ = {γR[cos(φω2 + sin(φf2(φ)] + f1(v)}/(1 - γ·sin2(φ))/ω;

(4.1)

 

/ = sin(φ)·(dv/)/R + f2(φ)/ω.

(4.2)

Полученные Е. Л. Таруниным уравнения движения виброхода, реализованного на базе центробежного вибратора, соответствуют трём законам Ньютона и функционально соответствуют моей модели виброхода, Программа виброхода; Движение центробежного вибратора.

Порядок счёта соответствовал записи уравнений. Из первого уравнения исключено ускорение угловой скорости. Возможно аналогичное исключение ускорения корпуса инерцоида из второго уравнения. Это не сделано сознательно – при счёте уравнения (4.2) ускорение уже известно и вычисление нового значения ωn+1 (n – номер шага по времени) не вызывает затруднений.
      Перейдём к описанию заданных функций в (4.1), (4.2). Функция f1(v), определяющая силу сопротивления, равна

 

f1(v) = Ψx/M0.

В случае кулоновского трения величина Ψx пропорциональна весу тела и коэффициенту трения μ:

 

Ψx = -g·μ·M0·sign(v).

(4.3)

Следовательно,

 

f1(v) =  -g·μ·sign(v) ≡  -c1·sign(v).

(4.4)

c1 = g·μ;     μ = c1/g.

По данным [3] μ = (0.8 ÷ 2.5)·10-3; согласно справочникам, значение этой величины на 1–2 порядка выше. Отсюда следует, что возможные значения коэффициента c1 находятся в интервале 0.01 ÷ 2.5.

      Параметр c1 по модулю – ускорение массы инерцоида под действием силы трения, так как
M0·a = M0·f1(v) = Ψx, а  f1(v) ≡ -c1·sign(v). Например, в программной модели используется значение a1 = c1 = 2 м/с2. Оценим реальность выбранного диапазона для параметра c1.
      В. Н. Толчин в книге [3] – «Инерцоид», в явном виде не приводит значения коэффициентов μ, а только указывает трение в граммах. Для пересчёта этих значений трения к коэффициенту μ, данному в справочниках, надо учитывать роль колеса, как рычага, трансформирующего большое осевое трение на малое сопротивление обода вращению. Трение на оси, приведённое к ободу колеса получается меньше в отношении диаметра оси к диаметру колеса. Например, для "пружинного" инерцоида
k1 = Dобода/Dоси = 30 мм/1,5 мм = 20, т. е. коэффициент трения скольжения оси в 20 раз меньше после приведения к ободу. Диапазон c1 = 0.01 ÷ 2.5 равен диапазону коэффициента трения
μ1 = (0.01 ÷ 2.5)/g = 0.001 ÷ 0.255, если привести этот диапазон к трению на оси, то получится
μос1 = k1·(0.001 ÷ 0.255) = 0.02 ÷ 5.1. Верхнее значение даёт трение на оси в 5.1 раз больше веса устройства, что не может быть даже без смазки (это можно сделать только специально, подобрав материал с явной целью увеличения трения). Поэтому верхнее значение коэффициента трения завышено как минимум на порядок. Например, В. Н. Толчин оценивает силу трения покоя для "пружинного" инерцоида в 25 грамм при весе 950 грамм, если пересчитать на ось, то имеем
μ = 20·25/950 = 0.526 ≈ μос_max1/10. В движении соответственно μ = 20·6 грамм/950 грамм = 0.126. Последний коэффициент значительно больше нижней границы предлагаемой Е. Л. Таруниным. Однако В. Н. Толчин фактически оценивал трение в < 6 грамм, что указывает на его весьма критическое отношение к своим измерениям. Например, при использовании пары сталь–сталь в подшипнике скольжения, коэффициент трения будет примерно равен 0.03. При весе 950 грамм имеем трение, приведённое к ободу 0.03·950/20 = 1.425 грамм, что очёнь близко к значению средней тяги, полученной при испытании инерцоида на наклонной плоскости в 5 минут. Коэффициент связи трения и средней тяги при достаточной разности частот между медленным и быстрым полутактом незначительно отличается от единицы. В дальнейшем мы будем использовать k1 = 20 с сопутствующими параметрами трения "пружинного" инерцоида, в качестве эталона.
      При более строгом пересчёте c1 к μос надо учитывать неравномерность распределения давления по опорной части оси. Этот коэффициент будет равен π/4 ≈ 0.785 или при обратном пересчёте 4/π ≈ 1.27. Однако это ничего принципиально не меняет.
      Если инерцоид движется на дополнительной тележке, то
k2 = Dобода/Dоси = 50 мм/3.0 мм = 16.6(6) и μос2 = k2·(0.01 ÷ 2.5)/g = 0.0167 ÷ 4.25.
      Дополнительно для сравнения будем использовать параметры "мощного" инерцоида. К сожалению, для "мощного" инерцоида не известны параметры колеса и в этом случае мы можем использовать только μ1 = 0.001 ÷ 0.255 в пересчёте на абсолютное трение. При весе 5600 грамм имеем 5.6 ÷ 1428 грамм. Верхнее значение не реально завышено по сравнению с оценкой В. Н. Толчина (29 гр. в покое и 10 грамм в движении). Обратите внимание, что Евгений Леонидович не отрицает возможность существования трения на нижней границе в 5.6 грамм при указанном весе. Однако при таком уровне трения (μ1 = 0.001) ускорение программного виброхода выходит за пределы реального опыта с инерцоидом.
      Что касается трения качения твёрдого, полированного колеса по гладкой, твёрдой поверхности, то оно существенно меньше приведённого к ободу осевого трения, по крайней мере, для размеров колёс и диаметров осей которые использовал В. Н. Толчин, при его хорошем качестве изготовления. В этом можно убедится, например, испытав качественную колёсную пару на полированном стекле, вначале отдельно от тележки, а потом вместе с тележкой, т. е. при наличии осевого трения. Рассматривая трение качения, надо иметь в виду, что его определённая доля имеет упругое и гравитационное происхождение, т. е. это обратимые деформации колеса и опоры и связанные с ними микро вертикальные колебания корпуса. Эта составляющая трения создаёт на колесе силовой момент, который не приводит к потере импульса движения, но проявляет себя при измерении трения покоя.
      В уравнениях Е. Л. Тарунина масса инерцоида не используется в явном виде, так как теоретически важна только её относительная роль, как для амплитуды колебаний корпуса, так и для действия фактора трения. Это и позволяет нам использовать "пружинный" инерцоид в качестве образца осевого трения скольжения.

      Функция f2(φ) определяет момент сил, вращающий грузики:

 

f2(φ) = Ψφ/I,             I = 2mR2.

      Функция f2(φ) не равна нулю на двух участках: на участке торможения от φ1 до φ2 и на участке ускорения рычагов от φ3 до φ4 см.(1.1).
      На участке ускорения рычагов с грузами

 

f2(φ) = c2 – const,        φ3 φφ4.

(4.5).

Значение c2 изменялась в расчётах от 20 до 65.

Функция f2(φ) = c2 имеет размерность [1/с2], т. е. это угловое ускорение.
/dt = f2(φ) = c2= 20 ÷ 65 рад/с2.

      На участке торможения использовались две модели – модель с постоянным тормозящим моментом и модель с трением. В модели с постоянным тормозящим моментом (первая модель)

 

f2(φ) = -c3,              φ1 < φ < φ2,

(4.6)

а в модели с трением (вторая модель)

 

f2(φ) = -c3·ω,           φ1 < φ < φ2,

(4.7)

      Часть расчётов была выполнена для значений φ1 и φ2, указанных в [3], хотя вычислительные эксперименты показали, что эти значения далеки от оптимальных.
      Уравнения (4.1), (4.2) определяют ускорение линейной скорости в м/с, а угловой – в рад/с; размерности величин c1, c2, c3, c4 (см. (4.4)–(4.7), (4.17)) определены из указанных связей с соответствующими силами и моментом сил.
      Перейдём к обсуждению результатов, полученных для первой модели с постоянным тормозящим моментом (4.6). В этой модели очень просто осуществляется контроль установившегося движения по выполнению интегрального закона сохранения энергии на одном периоде. На этапе разгона грузиков система получает прирост кинетической энергии, пропорциональный величине

 

ΔE1 ≡ 0.5I(ω12 - ω02)/M0 = γ·R2·c2·(φ4 - φ3).

(4.8)

Аналогично на этапе торможения грузиков сиcтема теряет кинетическую энергию, пропорциональную величине

 

ΔE2 = γ·R2·c3·(φ2 - φ1).

(4.9)

В установившемся режиме движения инерцоида разница ΔE1 - ΔE2 идёт на работу по преодолению силы трения (величины в (4.8)–(4.10) отнесены к полной массе M0):

 

A = c1·S,           S = x+ - x-.

(4.10)

      В этой формуле S – полный путь движения инерцоида за период, состоящий из двух частей: движения вперёд x+ и движения назад (отрицательная величина) x-.
...

      Серии вычислительных экспериментов начались для параметров (значения φj соответствовали (1.1))

 

γ = 0.3,      r = 0.3,      c1 = 2.0,      c2 = 20     

(4.14)

и различных значений c3 для поиска приемлемого значения тормозящего момента. Было найдено, что максимум средней скорости v ≈ 2.01 см/с достигается при c3 = 19 (дальнейший счёт и вёлся с этим фиксированным значением).
      Значение скоростей, получаемые при c2 = 20, меньше тех, которые соответствуют инерцоидам. Это обстоятельство не должно смущать читателя. Нас интересуют принципиальные вопросы модели, которые могут быть рассмотрены при любых параметрах. Заметим также, что увеличение c2 до 65 во второй модели, естественно, увеличило скорости инерцоида до параметров, близких к реальным.

К параметрам (4.14) ближе всего инерцоид "мощный". У него γ = 0.357,      r = 0.3. Он проходит за такт расстояние в S = 43 см. При переходе к программному виброходу надо уменьшить это расстояние в 0.3/0.357 = 0.84. Поэтому S = 36.12 см. При периоде T = 1.04 сек, средняя скорость будет равна v = 34.73 см/c. Этот пересчёт соответствует принципу, доказанному на опытах с "пружинным" инерцоидом, что средняя скорость равна v = S/T. Обратите внимание, что 34.73/11.67 = 2,98 ≈ 3 раза. Значение 11.67 см/с, взято из таблицы 2, ст. 218 это средняя скорость программного виброхода при периоде T = 1.04 с, в режиме слабого отката -0.15 см (при большом трении c1 = 2 и φ1 = 114°, т. е. с оптимизацией). Если ход за такт разделить на амплитуду инерцоида S0 = 2·0.3·30 = 18 см., получим 36.12/18 = 2.01 ≈ 2 (для "мощного" также). Для "пружинного" инерцоида имеем ту же закономерность 60 мм/32.84 мм = 1.83 ≈ 2. Так как пересчёт от "мощного" к программному инерцоиду осуществляется примерно в пределах 16%, то нет особых оснований считать, что погрешность этого пересчёта больше этой величины. Программный виброход Евгения Леонидовича даже после оптимизации не смог достичь скорости близкой к v = 34.73 см/c. ...

Оглавление

Продолжение

Форма входа

Поиск
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Copyright MyCorp © 2010-2017
Создать бесплатный сайт с uCoz