Механика инерцоида
     Главная | Кинематика движителя Торнсона | Мой профиль | Выход Вы вошли как Гость | Группа " Гости" | RSS
Механика инерцоида

 

Анализ кинематики движителя Торнсона.

В. Н. Толчин тоже использовал этот привод Тех. молодёжи. 1969. № 4. С.28–31.

1.   Радиус кривизны траектории.
2.   Угловая скорость радиуса кривизны.
3.   Координаты радиус-вектора.
4.   Вектор скорости движения по траектории.
5.   Модуль вектора скорости движения по траектории.
6.   Центробежное ускорение на траектории.
7.   Угловая скорость радиус-вектора.
8.   Скорость изменения длины радиус-вектора.
9.   Ускорение по длине радиус-вектора.
10. Ускорение радиус-вектора.
11. Модуль ускорения радиус-вектора.
12. Компоненты вектора центробежного ускорения.
13. Суммарный импульс центробежной силы за один оборот механизма.
14. Компоненты вектора радиуса кривизны.
15. Выражение вектора радиуса кривизны через векторы r2 и r1.
16. Выражение вектора центробежного ускорения через векторы r2 и r1.
17. Выражение вектора центра кривизны траектории через векторы r2 и r1.
18. Докажем, что центробежное ускорение равно Ar = -[ωk×V].
19. Мощность, затрачиваемая на вращения механизма.
20. Момент на оси привода.

 

Список переменных, используемых в статье.

1.   r1 – расстояние между центрами шестерней O и O''. В векторном виде r1 – радиус-вектор вращения центра шестерни O'' относительно центра O.
2.   r2 – радиус шестерней. В векторном виде, r2 – радиус-вектор вращения массы m относительно системы отсчёта O'', перенесённый в систему отсчёта O.
3.   ω – угловая скорость вращения шестерней в собственных системах отсчёта.
4.   α – угол поворота шестерни O относительно оси x.
5.   dα – дифференциал угла α.
6.   r2'' – радиус-вектор вращения массы m относительно системы отсчёта с центром O''.
7.   ω2 = 2dα/dt – угловая скорость вектора r2 в системе отсчёта O.
8.   dt – дифференциал времени.
9.   ω1 – угловая скорость вектора r1 относительно центра O.
10. ω2'' – угловая скорость вектора r2'' относительно центра O''.
11R – радиус-вектор массы m относительно центра O.
12. r1x, r1y – проекции вектора r1 на оси x и y.
13. r2x, r2y – проекции вектора r2 на оси x и y.
14. t – текущее время.
15. α1 – начальная фаза вектора r1 относительно системы отсчёта O.
16. α2 – начальная фаза вектора r2 относительно системы отсчёта O.
17. Rx, Ry – проекции вектора R на оси x и y.
18. Vx, Vy – проекции вектора скорости V на оси x и y.
19V – вектор скорости движения центра массы по траектории.
20ωR – угловая скорость радиус-вектора R.
21n – единичный вектор, имеющий направление радиус вектора R.
22. dR/dt – производная от длины радиус-вектора R.
23. i, jk – единичные координатные векторы.
24. r – модуль вектора радиуса кривизны траектории.
25r – вектор радиуса кривизны траектории.
26. β – угол между осью x и радиус-вектором R.
27. R – модуль радиус-вектора R.
28. ωk – угловая скорость вектора радиуса кривизны.
29. Ar – модуль вектора центробежного ускорения на траектории.
30Ar – вектор центробежного ускорения.
31. V – модуль вектора скорости V.
32. VL – скорость изменения длины радиус-вектора R.
34. AL – ускорение по длине радиус-вектора R.
35. Ax, Ay – проекции вектора ускорения радиус-вектора R.
36A – вектор ускорения радиус-вектора R.
37. A – модуль вектора A.
38.  γ – угол между осью x и вектором скорости V.
39. p – импульс силы.
40. dp – дифференциал импульса силы.
41. Srx – проекция перемещения массы по оси x.
42. Ar0x – проекция окружного ускорения массы по оси x.
43. N – мощность, затрачиваемая на вращение.
44. NL – мощность изменения длинны радиус-вектора.
45. Nβ – мощность поворота радиус-вектора.
46. –

В этом анализе предполагается, что угловая скорость вращения шестерёнок постоянна и
r2 = ½·r1. Система отсчёта с центром O неподвижна. Система отсчёта с центром O'' вращается вместе с шестернёю. ω·t = α.

Покажем, что угловая скорость вектора r2 относительно центра O в два раза больше, чем угловая скорость вектора r1 относительно этого же центра. Рассмотрим параллелограмм OO''BA.

Повернём параллелограмм без деформации, как одно целое, относительно центра O на малый угол dα, в этом случае вектор r1 повернётся тоже на dα и вектор r2 тоже повернётся на dα, при этом вектор r2'' относительно центра O'' будет стоять на месте.

Пусть вектор r1 будет зафиксирован, а вектор r2'' повернём на малый угол dα относительно центра O''. В этом случае параллелограмм будет деформироваться, и вектор r2 тоже повернётся на угол dα.

А теперь одновременно, повернём параллелограмм на dα относительно центра O и деформируем его на угол dα поворотом вектора r2''. В этом случае вектор r1 относительно центра O повернётся на угол dα и вектор r2'' тоже повернётся на dα только относительно центра O''. Можно заметить, что в этом случае вектор r2 повернётся на 2dα. Так как кинематически шестерёнки связаны то, угловые скорости можно записать так ω2 = 2dα/dt и
ω1 = ω2'' = dα/dt, где ω2 – угловая скорость вектора r2 относительно центра O; ω1 – угловая скорость вектора r1 относительно центра O; ω2'' – угловая скорость вектора r2'' относительно центра O''.

 

Из схемы видно, что R = r1 + r2 = r1 + r2''.

Поэтому можно записать следующее:
r1x = r1·cos(ω·t + α1);          r1y = r1·sin(ω·t + α1);

r2x = r2·cos(2ω·t + α2);        r2y = r2·sin(2ω·t + α2). Это проекции векторов на оси x и y.

Проекция вектора R записывается через линейную комбинацию этих проекций:
Rx = r1·cos(ω·t + α1) + r2·cos(2ω·t + α2);

Ry = r1·sin(ω·t + α1) + r2·sin(2ω·t + α2).

Определимся с начальными фазами. Пусть α1 = 0 и α2 = 0. Фактически точку «B» мы разместили при t = 0 на оси x, тогда

Rx = r1·cos(ω·t) + r2·cos(2ω·t);

Ry = r1·sin(ω·t) + r2·sin(2ω·t).

 

Найдем скорость вектора R, дифференцируем Rx и Ry:
Vx = -ω·r1·sin(ω·t) - 2ω·r2·sin(2ω·t);

Vy = ω·r1·cos(ω·t) + 2ω·r2·cos(2ω·t);

 

Vx = -ω·r1·sin(ω·t) - ω·r1·sin(2ω·t);

Vy = ω·r1·cos(ω·t) + ω·r1·cos(2ω·t);

 

Vx = -ω·r1·(sin(ω·t) + sin(2ω·t)) = -2ω·r1·sin(3/2ω·t)·cos(ω·t/2);

Vy = ω·r1·(cos(ω·t) + cos(2ω·t)) = 2ω·r1·cos(3/2ω·t)·cos(ω·t/2).

Обратите внимание, что вектор V = {Vx, Vy} – полная производная.

V = n·dR/dt + [ωR×R] = {Vx, Vy}, где n – единичный вектор, имеющий направление радиус вектора;

dR/dt – производная от длины радиус-вектора; ωR – угловая скорость радиус вектора.

 

Покажем, что dR/dt = V = {Vx, Vy} = [2ω×r2] + [ω×r1] =

= 2ω·[k×(i·r2x+ j·r2y)] + ω·[k×(i·r1x + j·r1y)] =

= 2ω·r2x·[k×i] + 2ω·r2y·[k×j] + ω·r1x·[k×i] + ω·r1y·[k×j] =

= j·2ω·r2x - i·2ω·r2y + j·ω·r1x - i·ω·r1y =

= - i·(ω·r1y + 2ω·r2y) + j·(ω·r1x + 2ω·r2x) =

Подставляем проекции.
r1x = r1·cos(ω·t);          r1y = r1·sin(ω·t);

r2x = r2·cos(2ω·t);        r2y = r2·sin(2ω·t).

V = - i·(ω·r1·sin(ω·t) + 2ω·r2·sin(2ω·t)) + j·(ω·r1·cos(ω·t) + 2ω·r2·cos(2ω·t)) =

Сравниваем с
Vx = -ω·r1·sin(ω·t) - 2ω·r2·sin(2ω·t);

Vy = ω·r1·cos(ω·t) + 2ω·r2·cos(2ω·t). Получили тот же результат.

 

Обратите внимание, что
V = n·dR/dt + [ωR×R] = [2ω×r2] + [ω×r1].

 

Вычислим радиус кривизны траектории движения. В справочнике можно найти формулу (Раздел дифференциальная геометрия), например И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев. Справочник по математике. Гос. изд. Технико-теор. лит. М. 1953.

r = [1 + (dy/dx)2]3/2/(d2y/dx2).                    (3)

Определимся с переменными в этой формуле:
dy/dt = Vy = 2ω·r1·cos(3ω·t/2)·cos(ω·t/2);

dx/dt = Vx = -2ω·r1·sin(3ω·t/2)·cos(ω·t/2),

тогда (dy/dt)/(dx/dt) = dy/dx = -cos(3ω·t/2)/sin(3ω·t/2) = -ctg(3ω·t/2).

d2y/dx2 = (3ω/2)·1/sin(3ω·t/2)2/dx/dt = -(3ω/2)·1/sin(3ω·t/2)2/(2ω·r1·sin(3ω·t/2)·cos(ω·t/2)) =

= -(3/4)·1/sin(3ω·t/2)3/cos(ω·t/2)/r1.

r = -[1 + ctg(3ω·t/2)2]3/2/((3/4)·1/sin(3ω·t/2)3/cos(ω·t/2)/r1) =

= -(4/3)·r1·[1 + ctg(3ω·t/2)2]3/2·sin(3ω·t/2)3·cos(ω·t/2) = -(4/3)·r1·cos(ω·t/2).

r = -(4/3)·r1·cos(½ω·t). Ещё вариант.

 

Находим модуль скорости вектора R

V = √(Vx2 + Vy2) = 2ω·r1·√(sin(3ω·t/2)2·cos(ω·t/2)2 + cos(3ω·t/2)2·cos(ω·t/2)2) =

= 2ω·r1·cos(ω·t/2).

V = 2ω·r1·cos(½ω·t).

 

Найдём угловую скорость радиуса кривизны ωk = V/r = √(Vx2 + Vy2)/r.

ωk = 2ω·r1·cos(ω·t/2)/(-(4/3)·r1·cos(ω·t/2)) = -3/2·ω.

ωk = -3/2·ω.

 

Найдем центробежное ускорение, связанное с радиусом r. Радиус кривизны r перпендикулярен вектору скорости V.
Ar = ωk2·r = -(3/2·ω)2·(4/3)·r1·cos(ω·t/2) = -3·ω2·r1·cos(ω·t/2).

Ar = -3·ω2·r1·cos(½ω·t).

 

Найдем угловую скорость вектора R.

Vx = -ω·r1·(sin(ω·t) + sin(2ω·t));      Rx = r1·(cos(ω·t) + ½·cos(2ω·t));

Vy = ω·r1·(cos(ω·t) + cos(2ω·t));      Ry = r1·(sin(ω·t) + ½·sin(2ω·t)).

Используем формулу, которую докажем.

ωR = (Vy·Rx - Vx·Ry)/R2 =

= ω·r1·( (cos(ω·t) + cos(2ω·t))·Rx + (sin(ω·t) + sin(2ω·t))·Ry)/R2 =

 

= ω·r12·( (cos(ω·t) + cos(2ω·t))·(cos(ω·t) + ½·cos(2ω·t)) +

+ (sin(ω·t) + sin(2ω·t))·(sin(ω·t) + ½·sin(2ω·t)) )/R2 =

 

= ω·r12·(cos(ω·t)2 + ½·cos(ω·t)·cos(2ω·t) + cos(2ω·t)·cos(ω·t) + ½·cos(2ω·t)2 +

+ sin(ω·t)2 + ½·sin(ω·t)·sin(2ω·t) + sin(2ω·t)·sin(ω·t) + ½·sin(2ω·t)2)/R2 =

 

= ω·r12·(3/2 + ½·cos(2ω·t)·cos(ω·t) + ½·sin(2ω·t)·sin(ω·t) +

+ cos(2ω·t)·cos(ω·t) + sin(2ω·t)·sin(ω·t))/R2.

Используем тригонометрическую формулу cos(α - β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β) (1).

ωR = ω·r12·(3/2 + ½·cos(ω·t) + cos(ω·t))/R2 =

= 3/2·ω·r12·(1 + cos(ω·t))/R2.

 

R2 = r12·((cos(ω·t) + ½·cos(2ω·t))2 + (sin(ω·t) + ½·sin(2ω·t))2) =

= r12·(cos(ω·t)2 + cos(2ω·t)2/4 + cos(ω·t)·cos(2ω·t) + sin(ω·t)2 + sin(2ω·t)2/4 + sin(ω·t)·sin(2ω·t)) =

= r12·(5/4 + cos(2ω·t)·cos(ω·t) + sin(2ω·t)·sin(ω·t)).

Используем тригонометрическую формулу (1).

R2 = r12·(5/4 + cos(ω·t)).      R = r1·√(5/4 + cos(ω·t)).

ωR = 3/2·ω·(1 + cos(ω·t))/(5/4 + cos(ω·t)).

 

Докажем формулу ωR = (Vy·Rx - Vx·Ry)/R2.

Обратите внимание, что (Ry/Rx)' = (Ry'·Rx - Ry·Rx')/Rx2 =

= (Vy·Rx - Ry·Vx)/Rx2. Тогда имеем

ωR = (Ry/Rx)'·Rx2/R2 = (tg(β))'·cos(β)2 = ωR·(1/cos(β)2)·cos(β)2 = ωR, где β – угол между осью x и радиус-вектором.

 

Найдём скорость изменения длины вектора R. Дифференцируем R2 = r12·(5/4 + cos(ω·t)).

2R·dR/dt = -ω·r12·sin(ω·t).

dR/dt = -ω·r12·sin(ω·t)/2/R = -ω·r1·sin(ω·t)/2/√(5/4 + cos(ω·t)) =

= -ω·r1·sin(ω·t)/√(5 + 4·cos(ω·t)).

VL = -ω·r1·sin(ω·t)/√(5 + 4·cos(ω·t)).

 

Найдём ускорение по длине радиус-вектора.

dVL /dt = -ω·r1·(sin(ω·t)'·(5 + 4·cos(ω·t))½ - sin(ω·t)·(5 + 4·cos(ω·t))½ ')/(5 + 4·cos(ω·t)) =

= -ω2·r1·(cos(ω·t)·(5 + 4·cos(ω·t))½ + 2·sin(ω·t)2·(5 + 4·cos(ω·t)))/(5 + 4·cos(ω·t)) =

= -ω2·r1·(cos(ω·t)·(5 + 4·cos(ω·t)) + 2·sin(ω·t)2·(5 + 4·cos(ω·t))-3/2) =

AL = dVL /dt = -ω2·r1·(cos(ω·t)/(5 + 4·cos(ω·t))½ + 2·sin(ω·t)2/(5 + 4·cos(ω·t))3/2).

...

 

Найдём ускорение радиус-вектора при ω = const, дифференцируем скорость:

Ax = -ω·r1·(ω·cos(ω·t) + 2ω·cos(2ω·t)) = -ω2·r1·(cos(ω·t) + 2cos(2ω·t));

Ay = -ω·r1·(ω·sin(ω·t) + 2ω·sin(2ω·t)) = -ω2·r1·(sin(ω·t) + 2sin(2ω·t)).

 

Модуль ускорения равен,

A = ω2·r1·√((cos(ω·t) + 2cos(2ω·t))2 + (sin(ω·t) + 2sin(2ω·t))2) =

= ω2·r1·√(cos(ω·t)2 + 4cos(2ω·t)2 + 4cos(ω·t)·cos(2ω·t) +

+ sin(ω·t)2 + 4sin(2ω·t))2 + 4sin(ω·t)·sin(2ω·t))) =

= ω2·r1·√(5 + 4·cos(2ω·t)·cos(ω·t) + 4·sin(2ω·t)·sin(ω·t)).

Используем тригонометрическую формулу (1).

A = ω2·r1·√(5 + 4cos(ω·t)).

 

Сделаем проверочный расчёт радиуса кривизны траектории, используя другую формулу из справочника.
r = V3/(Vx·Ay - Vy·Ax) = (2)

= 8·ω3·r13·cos(½·ω·t)3/(ω3·r12·(sin(ω·t) + sin(2ω·t))·(sin(ω·t) + 2sin(2ω·t)) +

+ ω3·r12·(cos(ω·t) + cos(2ω·t))·(cos(ω·t) + 2cos(2ω·t))) =

 

= 8·r1·cos(½·ω·t)3/((sin(ω·t) + sin(2ω·t))·(sin(ω·t) + 2sin(2ω·t)) +

+ (cos(ω·t) + cos(2ω·t))·(cos(ω·t) + 2cos(2ω·t))) =

 

= 8·r1·cos(½·ω·t)3/(sin(ω·t)2 + 3sin(ω·t)·sin(2ω·t) + 2sin(2ω·t)2 +

+ cos(ω·t)2 + 3cos(ω·t)·cos(2ω·t) + 2cos(2ω·t)2) =

 

= 8·r1·cos(½·ω·t)3/(3 + 3cos(2ω·t)·cos(ω·t) + 3sin(2ω·t)·sin(ω·t)) =

= 8/3·r1·cos(½·ω·t)3/(1 + cos(ω·t)) = 4/3·r1·cos(½·ω·t).

Докажем формулу (2), подтвердим правильность вычисления угловой скорости радиуса кривизны и рассмотрим физическую интерпретацию этой формулы.

Рассмотрим векторное произведение линейной и угловой скорости
a = [ω×v] = ω·[k×v] = ω·[k×(i·vx + j·vy)] = ω·([k×i]·vx + [k×j]·vy) =

= ω·(j·vx - i·vy).

ω = a/(j·vx - i·vy) = (i·ax + j·ay)/(j·vx - i·vy) = (i·ax + j·ay)·(j·vx - i·vy)/v2 =

= (ay·vx - ax·vy)/v2.

r = v/ω = v3/(ay·vx - ax·vy). Из сравнения с (2) видно, что мы получили то же самое выражение. Из этого следует, что угловая скорость радиуса кривизны равна

ωk = (Ay·Vx - Ax·Vy)/V2.

Обратите внимание, что (Vx/Vy)' = (Vx'·Vy - Vx·Vy')/Vy2 = (Ax·Vy - Vx·Ay)/Vy2.

ωk = (Ay·Vx - Ax·Vy)/V2 = -(Vx/Vy)'·Vy2/V2 = -(ctg(γ))'·sin(γ)2 =

= ωk·(1/sin(γ)2)·sin(γ)2, где γ – угол между осью x и вектором скорости.

Угловая скорость радиуса кривизны равна угловой скорости вращения вектора скорости, так как они всегда перпендикулярны.

 

Центробежное ускорение можно вычислить из векторного произведения
Ar = -[ωk×V] = -ωk·(j·Vx - i·Vy).

Arx = ωk·Vy;       Ary = -ωk·Vx;

Arx = ωk·ω·r1·(cos(ω·t) + cos(2ω·t)) = -3/2·ω2·r1·(cos(ω·t) + cos(2ω·t)).

 

Найдем суммарный импульс центробежной силы в направлении оси x за полный оборот механизма при ω = const.

dp = m·Arx·dt – дифференциал импульса силы.

p = -3/2·m·ω2·r1·∫(cos(ω·t) + cos(2ω·t)) dt =

= -3/2·m·ω2·r1·(∫cos(ω·t) dt + ∫cos(2ω·t) dt) =

= -3/2·m·ω·r1·(∫cos(α) dα + ∫cos(2α) dα) =

= -3/2·m·ω·r1·(sin(α) + ½·sin(2α)) + C.

На интервале α = [0, 360°] этот интеграл даёт нулевое значение.

p = 0. Тяги в направлении оси x в принятых предположениях нет.

 

Условие ω = const не является необходимым. Выполним двойное интегрирование ускорения.

Srx = -3/2·r1·∫∫ ω2·(cos(ω·t) + cos(2ω·t)) dt dt =

= -3/2·r1·∫∫(cos(α) + cos(2α)) dα dα =

= -3/2·r1·∫(sin(α) + ½·sin(2α)) dα =

= 3/2·r1·(cos(α) + ¼·cos(2α)).

На интервале α = [0, 360°] этот интеграл даёт нулевое перемещение.

Для тех читателей, которые сомневаются в правомочности такого двойного интегрирования, проведём проверку. Формально продифференцируем Srx дважды.

dSrx/dt = -3/2·r1·ω·(sin(α) + ½·sin(2α)).

dS2rx/dt2 = -3/2·r1·ω2·(cos(α) + cos(2α)) - 3/2·r1·dω/dt·(sin(α) + ½·sin(2α)).

Первое слагаемое этой суммы равно проекции центробежного ускорения на ось x. Второе слагаемое по смыслу это проекция окружного ускорения на ось x. Окружное и центробежное ускорения перпендикулярны друг другу, т. е. линейно независимы. В результате дифференцирования мы получили сумму проекций, от двух перпендикулярных ускорений. В исходном выражении для интегрирования, окружной составляющей нет, однако двойное интегрирование даёт правильное значение, так как интеграл от dS2rx/dt2 не зависит от условия ω = const (dω/dt = 0) и всегда равен dSrx/dt.

Проекция окружного ускорения равна Ar0x = -3/2·r1·dω/dt·(sin(α) + ½·sin(2α)).

По оси y тоже будут нули.

Обратите внимание, что в этих вычислениях не применялся закон сохранения импульса и эти вычисления проводились в предположении существования центробежной силы. При этом меня трудно обвинить в академической предвзятости, так как я считаю существование инерцоидов реальным. Просто математика, описывающая центробежную силу, не подходит для объяснения причин движения инерцоида, требуются новые подходы к объяснению этого явления. ...

На некоторых сайтах можно увидеть расчёты, которые демонстрируют наличие тяги под действием центробежной силы, однако эти расчёты ошибочны. Первая ошибка, авторы не правильно делают усреднение тяги, забывая о том, что усреднение имеет определённый физический смысл и не может быть произвольным. Вторая ошибка, учитываются не все силовые факторы, действующие в системе. Например, пренебрегают моментами сил, считая, что они не имеют отношения к колебательному движению механической системы.

Центробежные силы в Ньютоновской механике являются линейными силами, т. е. не зависят от скорости в явном виде и поэтому не могут являться причиной поступательного движения центра масс.

Об усреднении тяги.

 

Докажем формулу Ar = -[ωk×V].

Линейную скорость вращения можно выразить через векторное произведение
V = [ωk×r], тогда

Ar = -[ωk×[ωk×r]]. Для преобразования этого выражения используем формулу

[A×[B×C]] = B·(A·C) - C·(A·B) (смотрим в справочнике).

Ar = -[ωk×V] = -[ωk×[ωk×r]] = -ωk·(ωk·r) + r·(ωk·ωk) = ωk2·r = ωk2·(r·r)/r = V2/r.

Это при условии, что движение плоское (ωk·r) = 0.

 

Обратите внимание, что сила, связанная с этим центробежным ускорением имеет гироскопические свойства

Ar·V = -[ωk×VV = 0.

Центробежную силу можно определить и через радиус-вектор, соединяющий тело и ось вращения. В этом случае центробежная сила уже не будет гироскопической, так поступают в гироскопической механике, где базовыми инерционными силами являются, сила Кориолиса и центробежная. Определение центробежного ускорения в виде

Ar = -[ωk×V] = ωk2·r, не является стандартным подходом, однако является логичным расширением понятия "центробежная сила" из простого варианта движения тела по окружности с постоянным радиусом.

 

Вычислим компоненты вектора радиуса кривизны.
-[ωk×V] = ωk2·r.

r = -[ωk×V] /ωk2 = -ωk·(j·Vx - i·Vy)/ωk2 =

= -(j·Vx - i·Vy)/ωk = -(j·Vx - i·Vy)/ωk =

= -j·Vxk + i·Vyk.

rx = Vyk;      ry = -Vxk.

 

Проверим предположение, что вектор радиуса кривизны можно формально составить из векторов r1 и r2.

Vx = -ω·r1·sin(ω·t) - 2ω·r2·sin(2ω·t);

Vy = ω·r1·cos(ω·t) + 2ω·r2·cos(2ω·t);

 

rx = Vyk  = (ω·r1·cos(ω·t) + 2ω·r2·cos(2ω·t))/ωk  = -2/3·(r1·cos(ω·t) + 2r2·cos(2ω·t)).

r1x = r1·cos(ω·t);          r1y = r1·sin(ω·t);

r2x = r2·cos(2ω·t);        r2y = r2·sin(2ω·t).

rx = -2/3·(r1x + 2r2x).

 

ry = -Vxk = (ω·r1·sin(ω·t) + 2ω·r2·sin(2ω·t))/ωk =

= -2/3·(r1·sin(ω·t) + 2r2·sin(2ω·t)) =

= -2/3·(r1y + 2r2y).

ry = -2/3·(r1y + 2r2y).

 

rx = 2/3·(r1x + 2r2x);        ry = 2/3·(r1y + 2r2y). Таким образом радиус кривизны является линейной комбинацией проекций векторов r1 и r2 с коэффициентом 2/3.

r = 2/3·(r1 + 2r2) = 2/3·(R + r2).

 

Центробежное ускорение через векторы r1 и r2.

Ar = 3/2·ω2·(r1 + 2r2).

 

Найдём вектор центра кривизны траектории.

r + r0 = R;

2/3·(r1 + 2r2) + r0 = r1 + r2.

r0 = r1 - 2/3·r1 + r2 - 4/3·r2 = 1/3·(r1 - r2).

r0 = 1/3·(r1 - r2).

 

Найдём модуль вектора радиуса кривизны из r = 2/3·(r1 + 2r2).

r = 2/3·√((r1x + 2r2x)2 + (r1y + 2r2y)2) =

= 2/3·√(r1x2 + 4r2x2 + 4r1x·r2x + r1y2 + 4r2y2 + 4r1y·r2y) =

= 2/3·√(r12 + 4r22 + 4r1x·r2x + 4r1y·r2y) =

= 2/3·√(r12 + 4r22 + 4r1·cos(ω·t)·r2·cos(2ω·t) + 4r1·sin(ω·t)·r2·sin(2ω·t)) =

= 2/3·√(2r12 + 2r12·cos(ω·t)·cos(2ω·t) + 2r12·sin(ω·t)·sin(2ω·t)) =

= 2/3·√2·r1·√(1 + cos(2ω·t)·cos(ω·t) + sin(2ω·t)·sin(ω·t)) =

= 2/3·√2·r1·√(1 + cos(ω·t)) =

= 4/3·r1·cos(½·ω·t). Ещё вариант.

 

Покажем, что [2ω×r2] + [ω×r1] = [ωk×r] =

= - i·(ω·r1y + 2ω·r2y) + j·(ω·r1x + 2ω·r2x) =

= - i·(3/2·ω·2/3·(r1y + 2r2y)) + j·(3/2·ω·2/3·(r1x + 2r2x)) =

= - i·ωk·ry + j·ωk·rx.

 

Сформулируем необходимое условие, при котором возможно существование не скомпенсированной тяги при использовании в конструкции нескольких одинаковых грузов и рассмотрим пример, использования в конструкции четырёх сателлитов со сдвигом α = 90°.

Для существования не скомпенсированной силы в определённом направлении для вращающегося механизма, необходимо, чтобы сумма проекций скоростей грузов на поперечное направление была не равна нулю. Расчёт производится для каждой зеркальной половины отдельно.

Запишем для четырех сателлитов сумму скоростей (зеркальной секции нет) со сдвигом α = 90°.
i=14 Vyi = ω·r1·cos(ω·t + 0)      + ω·r1·cos(2ω·t + 0) +

               + ω·r1·cos(ω·t + 90°)   + ω·r1·cos(2ω·t + 180°) +

               + ω·r1·cos(ω·t + 180°) + ω·r1·cos(2ω·t + 360°) +

               + ω·r1·cos(ω·t + 270°) + ω·r1·cos(2ω·t + 540°) = 0. Тяги в направлении оси x нет.

 

  cos(ω·t) + cos(2ω·t) -

- sin(ω·t)  - cos(2ω·t) -

- cos(ω·t) + cos(2ω·t) +

+ sin(ω·t) - cos(2ω·t) = 0.

Существует следующее заблуждение, если в конструкции инерцоида увеличивать количество грузов, размещая их с определённым фазовым сдвигом, то от этого пропорционально их количеству будет возрастать тяга. Это заблуждение связано с незнанием реальных математических свойств инерционных сил. Математика суммирование в этом случае получается сложнее. При таком подходе к конструированию инерцоидов вместе с вибрационными пульсациями исчезает и тяга. Тяга полностью обнуляется в определённых конфигурациях системы грузов или становится очень маленькой для практического измерения. Создание работоспособных устройств с большим количеством грузов требует особого конструктивного подхода, что не тривиально и поэтому не наблюдается на практике. ...

 

Найдём мощность привода. Эта мощность не имеет постоянной составляющей, так как связана только с периодическим ускорением и торможением механизма.
N = F·V = m·A·V = m·(i·Ax + j·Ay)·(i·Vx + j·Vy) = m·(Ax·Vx + Ay·Vy).

N = m·(ω2·r1(cos(ω·t) + 2cos(2ω·t))·ω·r1·(sin(ω·t) + sin(2ω·t)) -

- ω2·r1·(sin(ω·t) + 2sin(2ω·t))·ω·r1·(cos(ω·t) + cos(2ω·t)) ) =

...

Оглавление

Продолжение

 

Форма входа

Поиск
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Copyright MyCorp © 2010-2017
Создать бесплатный сайт с uCoz