Комментарий к публикациям Трещалова Германа Владиславовича, с изложением физического содержания в моей форме понимания.
http://erg.ucoz.org/pub/info/Hydrodynamic_Effect_ru.pdf
http://erg.ucoz.org/pub/info/Modelling_Effect_ru.pdf
Гидравлика под ред. проф. И. И. Агроскина.
Выше
Трансформация полной энергии потока воды.
Гидравлический прыжок в прямоугольном канале переменной ширины.
При преобразовании потока мы ставили условие \( \displaystyle L = const, \) которое обеспечивает наличие Эффекта Трещалова.
Максимум эффекта наблюдается при числе Фруда \( \displaystyle Fr = 0.30937 \). Далее в качестве числового примера будет рассматриваться именно этот случай.
После преобразования потока, я снимаю условие \( \displaystyle L = const \), обеспечивая потоку за пределами турбины дополнительную степень свободы, что необходимо
для реализации практического случая, когда ширина потока больше размера устройства.
Нумерация сечений: \( \displaystyle 1 - \) входное сечение турбины при \( \displaystyle Fr_0 = 0.30937 \); \( \displaystyle 2 - \) после преобразования \( \displaystyle Fr = 1 \); \( \displaystyle 3 - \) после прыжка.
Средняя удельная величина количества движения для плоского сечения в потоке по модулю равна
\( \displaystyle \frac{d(m~w)}{dV} = ρ~ w \), где \( \displaystyle w - \) средняя скорость в сечении.
Динамическая сила действующая в сечении потока равна \( \displaystyle \frac{dm}{dV}w \frac{dV}{dt} = \frac{dm}{dt}w = ρ~ wQ \), где \( \displaystyle Q - \) объёмный расход.
Импульс входит в объём через сечение 2 и выходит через сечение 3, изменив свою величину.
Разность импульсов, умноженная на объёмный расход равна динамической силе действующей на объём.
Статическая сила в сечении равна \( \displaystyle p~S \), где \( \displaystyle p - \) среднее статическое давление в сечении; \( \displaystyle S - \) площадь сечения.
Для каждого сечения в потоке можно записать сумму \( \displaystyle ρ~ wQ + p~S \), которая выражает полную силу действующую в сечении.
Для стационарного потока условие равновесия между двумя сечениями будет \( \displaystyle \left(ρ~ w_3 Q + p_3 ~S_3 \right) - \left(ρ~ w_2 Q + p_2 ~S_2 \right) = 0 \).
\( \displaystyle \left(ρ~ w_3 Q + ρg \frac{H_3}{2} S_3 \right) - \left(ρ~ w_2 Q + ρg \frac{H_2}{2} S_2 \right) = 0 \).
\( \displaystyle \left( w_3 Q + g \frac{H_3}{2} S_3 \right) - \left( w_2 Q + g \frac{H_2}{2} S_2 \right) = 0 \).
\( \displaystyle \left( w_3 + \frac{g H_3}{2 w_3} \right) - \left( w_2 + \frac{g H_2}{2 w_2} \right) = 0 \).
Входное сечение \( \displaystyle S_2 \) по условию задачи критическое, тогда \( \displaystyle \frac{w_2^2}{gH_2} = 1 \).
\( \displaystyle \left( w_3 + \frac{g H_3}{2 w_3} \right) - \left( w_2 + \frac{w_2}{2 } \right) = 0; \) \( \displaystyle w_3 + \frac{g H_3}{2 w_3} - \frac{3}{2} w_2 = 0 \).
\( \displaystyle 2 w_3^2 + g H_3 - 3 w_3~ w_2 = 0 \).
\( \displaystyle H_3 = \frac{3 w_3~ w_2 - 2 w_3^2}{g} \). (8)
Построим 3D диаграмму \( \displaystyle H_3 (w_2, w_3 ) \).
Из графика видно, что существует максимум высоты.
Найдём максимум \( \displaystyle \frac{dH_3}{dw_3} = \frac{d}{dw_3} \left( \frac{3 w_3~ w_2 - 2 w_3^2}{g} \right) = 0 \).
\( \displaystyle 3 w_2 - 4 w_3 = 0. \)
\( \displaystyle w_3 = \frac{3}{4} w_2. \)
\( \displaystyle H_{3~max} = \frac{3 \frac{3}{4} w_2~ w_2 - 2 ( \frac{3}{4} w_2)^2}{g} = \frac{9}{8} \frac{w_2^2}{g} \).
Наличие максимума в уравнении (8) указывает на неустойчивость потока при \( \displaystyle Fr = 1 \).
У потока есть выбор, двигаться при числе Фруда \( \displaystyle Fr = 1 \) и далее или сделать прыжок и перейти к новым параметрам.
Вспомним ранее сделанные расчёты для числа Фруда \( \displaystyle Fr_0 = 0.30937 \) и продолжим их
Из расчёта видно, что увеличение высоты выходного потока возможно только на 5,72 см.
Обратите внимание, что после прыжка удельная энергия меньше, т. е. поток перешёл в новое состояние с минимальной энергией.
Если поток после гидравлического прыжка разогнать на уклоне при постоянной глубине до \( \displaystyle Fr = 1 \), то можно создать снова прыжок.
\( \displaystyle \Delta H_{прыжка} = \frac{9}{8} \frac{w_2^2}{g} - H_2 = \frac{9}{8} H_2 - H_2 = \frac{1}{8} H_2 \). При \( \displaystyle Fr_2 = 1 \).
...
Михаил Борисович Ост. 16.02.2014 г, ред. от 22.02.2014 г.
P.S.
К теме о двойке в знаменателе.
Для потока жидкости, движущейся с постоянной скоростью, можно сделать тот же вывод.
Продолжение следует.
Гидравлика под ред. проф. И. И. Агроскина.
Вопросы можно задавать на форуме Трансформация полной энергии потока воды.
Продолжение
Оглавление сайта
|