Выше

3.5-6 Проведём расчёт коэффициента с применением теоремы косинусов.
CD² = AC² + AD² - 2·AC·AD·COS(Δα);
CD² = 2·R² - 2·R²·COS(Δβ);

AC² + AD² - 2·AC·AD·COS(Δα) = 2·R² - 2·R²·COS(Δβ);

AD² = e² + R² - 2·e·R·COS(90° + β) = e² + R² + 2·e·R·SIN(β);
AC² = e² + R² - 2·e·R·COS(90° + β + Δβ) = e² + R² + 2·e·R·SIN(β + Δβ); Зачем? AC считать через другой угол.
Для удобства расчётов приведем уравнения к относительному виду, разделив все формулы на /R².
ac² + ad² - 2·ac·ad·COS(Δα) = 2 - 2·COS(Δβ), где ac = AC/R; ad = AD/R.
ac² = 1 + w² + 2·w·SIN(β + Δβ), где w = e/R; Эта система уравнений полностью определена.
ad² = 1 + w² + 2·w·SIN(β);

-ac² - ad² + 2·ac·ad·COS(Δα) = -2 + 2·COS(Δβ); Зачем? из этого уравнения, считать угол Δβ, если он уже задан 3°, это шаг таблицы, а потом искусственно вводить угол Δα = 2°, только для того чтобы посчитать отношение этих углов, когда можно просто выделить угол Δα из уравнения.
2·ac·ad·COS(Δα) = -2 + 2·COS(Δβ) + ac² + ad²;
COS(Δα) = (2·COS(Δβ) + ac² + ad² - 2)/(2·ac·ad);

Δα = arccos( (2·COS(Δβ) + ac² + ad² - 2)/(2·ac·ad) );

σ(β) = 3°/Δα – это среднее значение коэффициента на интервале Δβ = 3°, за рабочей точкой β.

Я составил из этих уравнений программу и убедился в том, что получаемые значения полностью соответствуют формуле полученной аналитически
σ(β) = 1 + w·(sin(β) + w)/(1 + w·sin(β)), с погрешностью не более 0,6% при шаге Δβ = 3°.

Совершенно непонятно, зачем необходимо для отрицательной области использовать дополнительные расчёты, так как полученные формулы из теоремы косинусов, не имеют никаких ограничений по диапазону (проверил численно). Могу ещё раз подтвердить, что ваши таблицы составлены с ошибкой.

Проверка погрешности вычисления коэффициента σ(β), полученного с использованием теоремы косинусов.
//-----------------------------------------
int n;
double w = 10.0/48.5; // w = e/R.
double ac, ad, b, db, cosda, ar, sa, sd;

void __fastcall TForm2::Edit11nClick(TObject *Sender)
{
n = n + 1;
b = M_PI/180.0*(3.0*n); // угол β.
db = M_PI/180.0*3.0; // угол Δβ.

ac = sqrt(1 + w*w + 2*w*sin(b + db));
ad = sqrt(1 + w*w + 2*w*sin(b));
cosda = (2*cos(db) + ac*ac + ad*ad - 2)/2/ac/ad;
ar = acos(cosda); // Δα.

sa = 1 + w*(w + sin(b))/(1 + w*sin(b)); // σ(β) - аналитическая формула.
sd = (db/ar); // σ(β) - по теореме косинусов.

Form2->Edit11->Text = 100*(sd - sa)/sa; // Вывод погрешности в процентах.
Form2->Edit12->Text = b*180.0/M_PI; // Текущий угол.

}

Основная ошибка при вычислении таблиц, связана с тем, что уравнение
AC² + AD² - 2·AC·AD·COS(Δα) = 2·R² - 2·R²·COS(Δβ), рассматривается как уравнение связи между приращениями Δα и Δβ, т. е. в предельном случае как связь между дифференциалами, что принципиально неверно. Поэтому даже при правильно вычисленных AC и AD в уравнение нельзя подставлять произвольное значение угла Δα = 2°, так как оно не соответствует рабочей точке заданной углами β, Δβ или γ, β. Это уравнение функциональной связи между Δα и Δβ в рабочей точке определяемой углами β, Δβ или γ, β. В этом уравнении все параметры однозначно связаны и вводить туда произвольное значение угла Δα нельзя, даже если оно маленькое. Для подобных операций надо составлять дифференциальное уравнение или правильно использовать функциональную связь, как в моём примере.

О физической сущности формулы q = m·ω²·R и её свойствах.

Скорость вращательного движения можно записать через векторное произведение.
V = [ω×R], где ω – угловая скорость; R – радиус вектор. Радиус вектор перпендикулярен траектории движения тела. Движение в плоскости.
Ускорение вращательного движения тоже записывается через векторное произведение.
а = [ω×V]. Тогда можно написать

а = [ω×[ω×R]]. Для преобразования этого выражения используем формулу

[A×[B×C]] = B·(A·C) - C·(A·B) (смотрим в справочнике).

а = [ω×[ω×R]] = ω·(ω·R) - R·(ω·ω) = - ω²·R = - ω²·(R·R)/R = - V²/R. Это при условии, что движение плоское (ω·R) = 0. Таким образом, рассматриваемая формула есть частный случай при движении вибратора в плоскости. Центробежная сила в в более общем случае равна
q = - m·[ω×V]. Это определение инерционной центробежной силы обладает гироскопическим свойством. Умножим его скалярно на скорость вращательного движения.
dE/dt = q·V = - m·[ω×V]·V = - m·[V×V]·ω = 0. Мощность центробежной силы в этой трактовке всегда равна нулю и поэтому она не может совершать работу. Сторонники классической механики подобный факт однозначно трактуют как принципиальную не возможность использования такой силы для создания инерцоидов. Однако на самом деле это не так. Принципы классической механики в этом вопросе просто ограничены. Подобный подход обеспечивает сохранение энергии в механической системе инерцоида. ...

Сила при действии на тело, передаёт ему определённое количество движения p = F·t = m·v. Импульс имеет свойство сохраняться при передаче другому телу (свойство импульса сохраняться и закон сохранения импульса, который рассматривается в классической механике, это не одно и тоже). Поэтому, процесс передачи механического действия не требует постоянного контакта, а может протекать импульсами, порциями, по мере расхода импульса при периодическом контакте с телами. Импульс накапливается при взаимодействии с одним телом (силой) и может через некоторое время тратится при реальном контакте с другим телом, его нельзя исключить простым отсутствием механического контакта, за исключением случая, когда тело покидает механическую систему и уносит с собой импульс навсегда. Действие силы нельзя рассматривать в отрыве от времени за исключение статических случаев. Поэтому позиция «НЕ ПЕРЕДАЁТСЯ корпусу из-за «такой мелочи», как элементарный НЕДОЛЁТ грузов до стенки корпуса», при наличии центробежной силы, принципиально неверна, так как нарушает свойство импульса сохраняться при передаче. В этом случае импульс от центробежной силы просто исчезает неизвестно куда (логичнее тогда считать, что его просто не было совсем или он был скомпенсирован). След этого неверного подхода пронизывает почти всё, например:
«В основе работы движителя лежит убеждённость, что во время вращения привода грузы надёжно прижимаются к внутренней стенке корпуса.
По прошествии некоторого времени после написания данной статьи я произвёл достаточно точные расчёты (см. статью ОТЧЁТ 2 о НИОКР) и показал, что прижатие к стенке корпуса только от действия генерируемых грузами центробежных сил может и НЕ наступить. А в этом случае грузы НЕ будут передавать корпусу сгенерированную ими центробежную силу. Результат – неподвижность тележки.»

Комментарии к статье из сайта «АРХИ.ru» «Массовый движитель»

Мнение-1

Михаил, Самого Доброго Дня Вам Желаю!

Данное письмо - это, скорее всего, расширенное обсуждение темы, затронутой изобретателем Измалковым Германом Ивановичем.

1. Известно, что, если некоторая активная часть массы перемещается, то остальная масса будет перемещаться в обратную сторону. Надеюсь, что с этим постулатом Вы согласны.

2. Расстояние, на которое переместится остальная масса, обратно пропорционально перемещающимся массам (активной и остальной).

3. Если перемещённую активную массу каким-то образом уменьшить и в таком состоянии возвращать в исходную позицию, то остальная масса тоже будет возвращаться в исходную позицию. Но расстояние, на которое остальная масса вернётся назад, будет уменьшено в соответствии с уменьшением возвращаемой активной массы. Благодаря этому появляется разница в перемещениях, создающая возможность поступательного движения.

4. В моей статье ТЕХНИКА/ДВИЖИТЕЛЬ/ИМПУЛЬСНЫЙ/ЧАСТЬ 1 предложена схема движителя, к котором масса изменяется при помощи её раскрутки. Обратно масса возвращается по пройденному ею маршруту, но в обратном направлении. Так вот, я думаю, что, если бы масса возвращалась по другому маршруту, то результат был бы таким же.

5. У Измалкова масса перемещаемого груза изменяется «лобовым» добавлением количества пластин на верхней ветке и удалением их на нижней ветке. Мне пока неясен вариант такой реализации, но, если Автор всё-таки сможет показать его, то придётся признать, что и в его движителе будет создаваться поступательно движение. В отличие от моего варианта это движение будет непрерывным, а не импульсным.

За сим – ИЖВУ!

Здравствуйте, Владимир Максимович!

1, 2, 3. Согласен, но обращаю ваше внимание на то, что это можно записать так
m₁·s₁ + m₂·s₂ = const (1), при соответствующем выборе системы отсчёта можно записать и так
m₁·s₁ + m₂·s₂ = 0, откуда m₁·s₁= -m₂·s₂ это то, что вы имели в виду (m₁/m₂= s₂/s₁ знак можно упустить).

Если выражение (1) продифференцировать, то имеем
m₁·v₁ + m₂·v₂ = 0, мы получили закон сохранения импульса. Таким образом, закон сохранения импульса в данном случае, является следствием исходного выражения и поэтому строго выполняется в ваших предположениях.

В более общем случае необходимо учитывать изменение массы системы тел, т. е. реактивный эффект
m₁·v₁ + m₂·v₂ + ∫(dm₁/dt)·v₁·dt + ∫(dm₂/dt)·v₂·dt = 0.
Так как в нашем случае массы грузов постоянны и не покидают систему движителя, то
∫(dm₁/dt)·v₁·dt + ∫(dm₂/dt)·v₂·dt = 0 и для Германа Ивановича остаётся только
p = m₁·v₁ + m₂·v₂ = 0.

4. Работоспособность этой схемы зависит от способа использования энергии, если энергия при торможении груза излучается в пространство, то и масса системы меняется, а значит и возможно движение центра масс по реактивному уравнению
m₁·v₁ + m₂·v₂ + ∫(dm₁/dt)·v₁·dt + ∫(dm₂/dt)·v₂·dt = 0 или
m₁·v₁ + m₂·v₂ = - (∫(dm₁/dt)·v₁·dt + ∫(dm₂/dt)·v₂·dt ) = p, получаем движение центра масс.

А если, производится 100% рекуперация энергии, то масса возвращается обратно в аккумулятор, так как Δm = ΔE/c² и движения центра масс не будет, p = m₁·v₁ + m₂·v₂ = 0.
Коэффициент полезного действия этого устройства 0,0000.... устанешь писать нули. От маршрута возврата груза результат не зависит.

5. Сделать это можно, например, двигая грузы в нижней части на боку, а в верхней в вертикальном положении (грузы прижаты друг к другу), тогда масса внизу и вверху будет разная, но это не спасёт, так как скорость движения грузов не может быть произвольной. Так как грузы движутся по одной траектории, то их количество, проходящее через любое сечение в единицу времени будет везде одинаковым (постоянный поток). При этом скорость вверху будет меньше (расстояние между грузами маленькое), а скорость внизу будет больше (расстояние между грузами большое). В этом случае скорость пропорциональна длине груза в направлении движения. Однако, суммарные массы грузов вверху и внизу тоже зависят от длинны груза, только обратно пропорционально. Поэтому импульсы внизу и вверху будут одинаковые. Масса линейки грузов увеличилась - скорость уменьшилась. Это можно записать так:
p = m·(L/h₁)·v₁ + m·(L/h₂)·v₂ = 0, так как v₂ = -v₁·(h₂/h₁), где L – длина на которой лежат грузы; h₂, h₁– длинны сторон груза; m·(L/h₁) – масса вверху; m·(L/h₂) – масса внизу; m – масса груза; n = L/h – количество грузов. Движения центра масс не будет.

Михаил Ost 10.10.2010 – 13.10.2010.

6. Михаил, по первым четырём пунктам Вашего письма у меня нет чего возразить. Но Ваш последний пункт почему-то зацепил моё внимание. Я искренне считал, что масса пластины НЕ зависит от её пространственной ориентации. Хоть на боку, хоть вертикально, но масса пластины останется неизменной. Поэтому в Авторском предложении пластины на обеих ветках размещаются в одинаковых количествах.

Суммарная масса пластин на верхней ветке станет больше массы пластин, находящихся на нижней ветке, только в случае прямого ДОБАВЛЕНИЯ пластин на верхнюю ветку. Именно такое решение и является для меня камнем преткновения. В противном случае тяги действительно не будет. И в этом вопросе я с Вами согласен.

Спорным для меня является и Ваше заявление об одинаковости количества грузов, перемещаемых в разных сечениях на траектории. У Измалкова это действительно так. Но я и сам смог бы предложить несколько вариантов, в которых по верхней ветке будет перемещаться больше пластин, чем та же самая цепь перемещает их по нижней ветке. Просто, если на эту идею имеется Автор (Измалков Г. И.), то, я думаю, логично сначала предложить ему возможность самому показать соответствующее техническое решение.

Если всё-таки техническое решение появится, то придётся снова задавать вопросы, поставленные в моём первом письме.

Благодарю за участие в обсуждении, и ИЖВУ!

Суммарная масса пластин, лежащих вверху или внизу, зависит от расстояния между ними и это расстояние не может быть меньше их длинны в направлении движения. Минимальное расстояние между пластинами зависит от их ориентации. В моём примере, рассматривается предельный случай, когда грузы прижаты друг к другу. В этом случае нет прямого добавления, так как просто меняется линейная плотность ряда грузов, которая зависит от их ориентации, т. е. расстояния между ними (разная упаковка по длине). Это более общий случай движения грузов для расчёта и как он может быть реализован конструктивно в данном случае не важно.

Пусть работают два конвейера, соединённые последовательно. Скорость их движения отличается, для примера, в 2 раза. Один рабочий берёт из кучи кирпичи и укладывает их на конвейер с постоянной частотой N₁/t, а другой рабочий принимает кирпичи и бросает их обратно в кучу с постоянной частотой N₂/t (работают они с одной кучей). За время работы t каждый из них перетаскает, соответственно N₁ и N₂ кирпичей. Чтобы за время работы куча не иссекала и не накапливалась должно соблюдаться равенство N₁ = N₂ (в куче всегда будет постоянное количество кирпичей). Для этого необходимо равенство потоков N₁/t = N₂/t. Если замкнуть конвейер, то рабочие не потребуются, так как кирпичи будут сами переходить с конвейера на конвейер. На быстром конвейере расстояние между кирпичами будет в два раза больше. На медленном конвейере кирпичи лежат в два раза плотнее. Естественно есть определенные ограничения по параметрам системы, но в пределах этих ограничений установившийся поток кирпичей в любом сечении будет одинаковый. Этот случай я и имел в виду.

Если кирпичи разложить на конвейере заранее, с произвольными интервалами, то естественно поток в сечениях будет не постоянный (колебательный), но в среднем за полный оборот в каждом сечении это константа, что и важно для результата работы устройства. В этом случае корпус устройства будет совершать сложные колебания, но центр масс будет стоять на месте. Математика расчёта усложнится и только, а результат заранее известен p = m₁·v₁ + m₂·v₂ = 0 по пунктам 1, 2, 3.

Михаил Ost 14.10.2010 г.

Михаил, я прошу Вас извинить мне мою занудливость. Дело в том, что Ваше последнее письмо НЕ вызывает у меня ПРЯМЫХ возражений. Имеются всего лишь нюансы, которые мне почему-то не удаётся донести до Читателя (следовательно, и до Вас тоже). Попробую подойти с другой стороны.

1. Скорость Конвейера по верхней ветке НЕ может отличаться от скорости конвейера по нижней ветке, поскольку конвейер – это замкнутая цепь.

2. Можно, конечно, разместить на верхней ветке больше плиток, чем их будет размещено на нижней ветке. В этом случае некоторое время по верхней ветке и перемещаться будет больше плиток, чем их перемещается по нижней ветке. Однако через какое-то время количество плиток на верхней ветке уровняется с количеством плиток на нижней ветке. А затем, уже на нижней ветке плиток окажется больше, чем их перемещается на верхней ветке.

Затем – снова выравнивание… И так далее.

Понятно, что ни о каком поступательном движении устройства в этой схеме говорить уже не приходится.

3. Таким образом, при постоянной скорости конвейера МОЖНО создать условия, когда в пределах какого-то отрезка времени условие «установившийся поток кирпичей в любом сечении будет одинаковый» окажется нарушаемым. Другое дело, что подобное нарушение всё равно НЕ создаст поступательного движения.

4. Поступательное движение возможно только в том случае, когда по одной из веток конвейера количество пластин будет ВСЕГДА больше количества пластин, движущихся в обратном направлении.

Вы пишите, что «и как он может быть реализован конструктивно в данном случае не важно». Я как раз думаю, что – ОЧЕНЬ важно. От принятой конструктивной схемы, обеспечивающей наверху больше пластин, чем внизу, принципиально зависит возможность создания непрерывного поступательного движения.

Я думаю, что, как конструктор, смогу показать хотя бы одно из таких возможных решений, когда на верхней ветке конвейера грузов будет ВСЕГДА больше, чем их движется на нижней ветке. Разумеется, скорость движения конвейера при этом останется постоянной.

5. Центр масс БУДЕТ перемещаться с постоянной скоростью, если обеспечить постоянную скорость конвейера с сохранением постоянного превышения количества верхних плиток над количеством нижних плиток.

Искренне Желаю Вам Успехов! (ИЖВУ!)

По пунктам 1-3 я вас понимаю. Могу только заметить, что я просто пытаюсь рассматривать более общий случай движения, чем одна цепь, но не могу это доходчиво выразить. А вот по пунктам 4 и 5 принципиально с вами не согласен. При любой автономной конструкции, поступательного движения центра масс не будет. Конструкция, которая сможет двигаться поступательно, будет неизбежно расходовать запасённые в ней грузы или принимать грузы из внешней среды на свой борт (хотя бы временно) и этого нельзя избежать принципиально.

Обратите внимание, что движение, происходящее по причине изменения определённого параметра (в данном случае изменение массы от одной ветке к другой), называют параметрическим. Такое движение обладает определёнными интересными свойствами.

Владимир Максимович, мне кажется, что пока не стоит продолжать это разговор, сделаем паузу, для приведения наших мыслей в порядок и подождём новой информации от Измалкова. За вами, если желаете, последнее слово в этом диалоге ...

С уважением, Михаил.
16.10.2010 г. г. Пермь.

Михаил, Доброго Вам Дня!

1. Ваше желание о рассмотрении общего случая как раз очень даже понятно.

Я сознательно переводил рассуждения с общего случая на конкретный., поскольку для общего случая моё мнение совпадает с Вашим.

2. «Конструкция, которая сможет двигаться поступательно, будет неизбежно расходовать запасённые в ней грузы или принимать грузы из внешней среды на свой борт (хотя бы временно) и этого нельзя избежать принципиально» - эта фраза мне пока не представляется убедительной.

На данном этапе мне кажется, что я смогу предложить техническое решение, в котором по верхней ветке будет перемещаться больше грузов, чем их перемещается по нижней. При этом, как мне кажется, не потребуется расходовать запас грузов и возобновлять его из внешней среды.

Идея такой схемы пока только сидит у меня в мозгах, и я даже не пытался нарисовать её на бумаге.

И это – единственная причина, позволяющая мне надеяться на генерацию поступательного движения устройства. Если не будет решения, обеспечивающего реализацию условий пункта 5, то, соответственно, не будет и поступательного движения.

3. Я думаю, что пауза будет очень даже кстати.

Благодарю за участие.

Комментарий к статье Гравимот-1    Гравимот-1 продолжение

Обратите внимание, что эта схема геометрически повторяет центробежный движитель с постоянным эксцентриситетом. Это даёт нам возможность использовать результаты вычислений, полученные на предыдущей странице.

Считаем, что сила тяжести P = m·g направлена по оси "x". Груз может двигаться только по направляющей окружности радиуса R (по касательной). Вектор P раскладывается на две составляющие
Р = К_τ + К_n, где К_τ – составляющая касательная к направляющей окружности; К_n – составляющая перпендикулярная к окружности.

Спицу, соединяющую ось привода и груз будем обозначать вектором
R₁ = R_τ + R_r, где R_τ – составляющая касательная к окружности; R_r – составляющая перпендикулярная к окружности. Эта схема векторов оптимальна в этой задаче.

R – радиус вектор направляющей окружности.

Рассмотрим четыре варианта задачи.

1. Найдем момент, действующий на груз относительно центра направляющей окружности
M_z = K_τ·R = g·m·R·sin(β);

Дифференциал работы равен
dA = M_z·dβ = g·m·R·sin(β)·dβ;

Интеграл от этого дифференциала на замкнутом пути равен нулю
A = - g·m·R·(cos(360°) - cos(0°)) = 0.

Это выполняется для любого груза, в любом количестве. При большом количестве грузов между ними происходит взаимодействие (обмен энергией), что влияет на их скорость движения, но ни как не может изменить суммарного результата, так как суммарный обмен энергией всегда нулевой (где то прибыло, в другом месте убыло).
_i=1∑ⁿ A_i = 0;

Можно и по другому.

2. Найдем скорость вращения груза относительно центра направляющей окружности
V = R·ω.

Проекция этой скорости на направление силы тяжести равна
V_x = R·ω·sin(β).

Мощность равна
N = m·g·V_x = m·g·R·ω·sin(β).

Дифференциал работы равен
dA = m·g·R·ω·sin(β)·dt = m·g·R·sin(β)·dβ.

Интеграл от этого дифференциала на замкнутом пути равен нулю
A = -g·m·R·(cos(360°) - cos(0°)) = 0.

Самое короткое решение.

3. Так как при движении груза к верху и к низу он поднимается и опускается на одинаковую высоту, то можно сразу записать
A = m·g·(2·R) + (-m·g·(2·R)) = 0. В этом случае мы используем свойство потенциальности поля тяжести.

И самое длинное решение этой задачи.

4. Используем наработки, полученные при анализе центробежного движителя с постоянным эксцентриситетом.
σ(β) = 1 + w·(sin(β) + w)/(1 + w·sin(β)). Это коэффициент связи между угловыми скоростями, вычисленный на предыдущей странице.
ω = ω₀·σ(β).

Умножим на радиус R направляющей и получим скорость движения груза относительно центра окружности
V = R·σ(β)·ω₀.

Если это выражение разделить на ω₀, то мы получим проекцию спицы на направление радиуса R.
R_r = R·σ(β). Радиус движения переменный относительно оси привода. Это выражение так же следует из следующих соотношений
ω/ω₀ = dβ/dα = R_r/R = σ(β);    R_r·dα = R·dβ = ds = V·dt.

Найдем момент, действующий на ось привода со стороны груза
M = Р×R₁ = (К_τ+ К_n)×(R_τ+ R_r) = К_τ×R_τ + К_τ×R_r + К_n×R_τ + К_n×R_r;

К_τ×R_τ = 0; К_n×R_r = 0, так как векторы со направлены и не дают момента, остаются только компоненты составленные из перпендикулярных векторов.

M = Р×R₁ = К_τ×R_r + К_n×R_τ, находим проекции.

M_z = К_τ·R_r + К_n·R_τ. Направление Z перпендикулярно рисунку. Это выражение для момента справедливо в том случае, если движение груза совершенно свободно, но так как перпендикулярное направление к окружности заблокировано, то К_n·R_τ = 0. И для момента остаётся только
M_z = К_τ·R_r;

M_z = K_τ·R_r = g·m·R_r·sin(β) = g·m·R·σ(β)·sin(β).

Дифференциал работы равен
dA = M_z·dα = g·m·R·σ(β)·sin(β)·dα = g·m·R·sin(β)·dβ. Последнее выражение мы уже получили в первых двух задачах и знаем, что при интегрировании на замкнутой траектории оно даёт нулевое значение.

Будем использовать первую запись, искусственно усложняя задачу
dA = g·m·R·σ(β)·sin(β)·dα           (1)

Чтобы не делать преобразования, которые для численного расчёта не важны, используем выражение для угла β, полученное ранее
w·cos(α) = sin(α - β);     β  =  α - arcsin(w·cos(α)).

Учитывая сложность выражения, будем его интегрировать численным методом.

Из графика видно, что при α = 360° (3,6) кривая работы (сиреневый гр.) пересекает ось, т. е. интеграл от момента силы на замкнутом пути равен нулю. Двигатель работать не будет. График с точками это момент силы на оси привода. Графики получены при w = e/R = 10.0/48.5 = 0,2062.

Обобщим уравнение (1) на большее количество грузов. Пусть количество грузов равно N. Тогда для i - го груза можно записать
M_{z i} = g·m·R·σ(β_i)·sin(β_i), где β_i = β + 2π/N·i.

Для работы
dA_i = g·m·R·σ(β_i)·sin(β_i)·dα.

Для суммы грузов имеем
M_{z N} = g·m·R·_i=0∑^{N - 1} σ(β + 2π/N·i)·sin(β + 2π/N*i);

M_{z N} = g·m·R·_i=0∑^{N - 1} σ(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)*sin(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i).

A_N = - работа всех грузов, участвующих в движении.

= g·m·R·_i=0∑^{N - 1}_α=0∫^360° σ(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)·sin(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)·dα.

При выводе графика будем использовать относительные единицы
M_{z N} = M_{z N}/(g·m·R);

A_N = A_N/(g·m·R).

В относительных единицах можно записать так
M_{z N} = _i=0∑^{N - 1} σ(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)·sin(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i);

A_N = _i=0∑^{N - 1}_α=0∫^360° σ(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)·sin(α - arcsin(w·cos(α)) + 2π/N·i)·dα.

Сделаем расчёт численным методом при шаге грузов в 40°. Это соответствует 9 грузам. Графики рисуем для случая 8 грузов и 9 грузов, w = e/R = 10.0/48.5 = 0,2062.

Кусок программы, вычисляющий один такт (точку графика)
ms0 = 0;
for( int n = 0; n < 8; n++)
{
be = w2*t2 + n*4.0*w2 - asin(w*cos(w2*t2 + n*4.0*w2));
sb = 1 + w*(w + sin(be))/(1 + w*sin(be));
f3 = sb*sin(be);             //Момент груза.
ms0 = ms0 + f3;            //Сумма моментов всех грузов.
w13 = w13 + f3*w2*dt; //Работа грузов.
};

Эти графики построены для 8 грузов через 40°, т. е. девятого груза не хватает (дырка). Первый груз устанавливается при α = 0, остальные грузы устанавливаются против часовой стрелки через 40°. Поэтому момент силы в этом случае получается переменным. Работа грузов на замкнутом пути равна нулю, так как кривая работы пересекает ось абсцисс в точке 360°.

Если установить девятый груз, то функция момента вырождается в нулевое значение. Работа, соответственно тоже равна нулю во всём диапазоне углов. Система из девяти грузов находится в статическом равновесии. Поэтому рисовать графики нет смысла. ...

Михаил Ost 17.11.2010 г. г. Пермь.  Начало статьи.

Оглавление

Продолжение

Назад

Главная страница